ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Гиперболические функции — По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул sinx = (e^xi — e^—xi)/2i, cosx = (e^xi+ e^—xi)/2 (где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений sinhyp x = (e^x — e^—x)/2, coshyp x = (e^x + e^—x)/2. Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z. Черт. 3. Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде x² + y² = 1, а уравнение гиперболы в виде x²—y² = 1; отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение coshyp²x — sinhyp²x = 1, аналогичное с тригонометрическим cos²x + sin²x = 1. Черт. 4. Кроме того, можно вводить функцию tghypx = sinhypx/coshypx. Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами: sinhyp(x + y) = sinhypх ×coshypy + coshypx× sinhypу и coshyp(x + у) = coshypx × coshypу — sinhypx ×sinhypy. Д. Гp.

Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре»

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД →← ГИПЕРБОЛА

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Смотреть что такое ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ в других словарях: