Эллиптические интегралы и функции — Э. интегралами называются все квадратуры вида:
∫
f(x,√ X)dx, где
Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от
х;
f есть какая-либо рациональная функция от
х и √
X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода. Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
Φ | |
F(φ ) = ∫ |
d φ /Δφ , (1) |
0 | |
где
Δφ означает корень:
Δφ = √(1—
k 2Sin
2 φ). Значит
F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину
k, называемую
модулем. Если положим
х = Sin φ, то интеграл
F(φ), который теперь обозначим через
u, будет иметь вид:
x | |
u = ∫ | dx/[√(1—x2)(1— k2x2 )] = F( φ)
|
0 | |
Так как
u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от
и. Эту обратную функцию называют
амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = аm(
u, k) или просто φ = аm
u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием
u функция аm
u возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π,
3/
2 π, 2 π,...., то
и достигает величин
K, 2K, 3K, 4K......, где
π /2 | |
K = ∫ |
d φ /Δφ , (2) |
0 | |
Величины
х =
Sin φ ,
√(1—х 2) =
Cos φ и
Δφ суть Э. функции от
и; так как
φ = аm
u, то:
х = Π (
и,а) = A;
√(1—x2) =
Cos am
u, √(1—
k2x2) = Δ am
u; эти функции от
и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:
d φ =
d.am
u =
du.
Δφ = Δ am
u.
du. (3) Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
φ | |
E(φ) = ∫ |
Δφ d φ , (4) |
0 | |
а если, согласно предыдущему, ввести вместо
d φ выражение (3) его в
du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
u | |
E(u) = ∫ |
Δ 2 amu du, (5) |
0 | |
При φ равном ½π, когда
u (по формуле (2)) обращается в
K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой
Е: π /2 | |
E = ∫ |
Δφ d φ , (6) |
0 | |
а по формуле (5):
Е =
Е(К). Дополнительным модулем назыв. величина
k‘, квадрат которой равен (
1—
k2), так что
k2 + (
k‘)
2 = 1. Означим через Δ
1 φ следующий корень: Δ
1 φ = √ [1 — (
k)
2 Sin
2 φ ] и составим следующие интегралы:
π /2 | |
K´ = ∫ |
d φ /Δ 1 φ , |
0 | |
π /2 | |
E = ∫ |
Δφ d φ , |
0 | |
Лежандр показал, что между четырьмя величинами
K,
Е, К‘ и
E существует следующая зависимость:
KE‘ + K‘E—KK‘ = ½ π (7). Интегралы третьего рода имеют такой вид:
φ | |
∫ | d φ /[(1— nSin2 φ) Δφ ] |
0 | |
Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (
и,а), а именно, следующий:
u | |
Π (и,а) = A ∫ | Sin2amu x du /[(1— k2 Sin2amaSin2am u] (8) |
0 | |
где А =
k2 Sin am
a Cos am
а Δ am
а. Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ
(u) или θ (
x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда: Θ (
и) = 1 — 2
qCos2
x +
2q4Cos4
x — 2q
9Cos3
x + 2
q16Cos8
x —... (9) или в виде суммы бесконечного числа членов Θ (
u) = θ (
x) = ∑(—1)
nqn2e2nxi ... (10). Здесь
х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:
x =
π u/2K, q =
exp(— π K´/K), i =
√(
—1),
n в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞. При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:
E(u) = (
E/K) u + Θ ‘(
u)/Θ (
u) ... (11) Π (
u,a) =
u Θ (
a)/
Θ ‘(
a) + ½ log[
Θ (
u—a)/
Θ (
u + a)], (12), где
Θ ‘(
u) означает производную от
Θ (
u) по
u. Из функции θ
(х) Якоби составляет еще три функции следующим образом. Если прибавить к
и величину
K, то к
х прибавится величина π/2, а если прибавить к
u величину (— iK‘), то к
х прибавится
1/
2 ilog
q. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:
θ (х) =
is θ (x +
1/
2 ilog
q)
θ 2 (х) =
s θ (x +
π /2 +
½ ilog
q)
θ 3(x) =
θ (x + π /3), где
s =
(q)1/4 e —x. В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:
Sin am
u =
(√k) -1[ θ 1(
x)/
θ (x)], Cos am
u =
√(k´/k) θ 2(x)/θ (x), Δаm
u = √
k‘ [ θ 3(x)/θ (x)], где
x = π
u/2
K. Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле. Если
и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины):
и =
х +
yi, то каждая из этих функций обратится в
Х + Yi , где Х и Y будут функциями от
x и
у, т. е.:
Х =
f1(x, y,), Y =
f2(x, y). Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы
х и ординаты
у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период
2К параллельно оси абсцисс и другой период 2
К‘ параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (
х, y),
(х + 2К,у), (х, y + 2
K‘), (
x + 2
K,
у + 2К‘) одинаковы. Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
∞ | |
и = ∫ | dy /[√(4y3 — g2y — g3)]... (13) |
0 | |
Нижний предел
s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от
u; эту функцию обозначим так:
s =
pu; квадрат её производной по
u выразится так:
(p‘u)2 =
(dpu/du)2 =
4(pu)3 — g2pu —
g3. (14). Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:
4[(рu — e 1)(pu — e2)(pu — e3)], где
е 1, е 2, е 3 суть три корня уравнения третьей степени 4
y3—
g2y —
g3 = 0. Величины
g2 и
g3 называются
инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение Δ
=
g32—27g32 называется
дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ>0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через
е 1 больший, через
е 2 средний и через
е 3 меньший корень, причем
е 1 положительная величина,
е 3 — величина отрицательная. Сумма
е 1 +
е 2 +
е 3 равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через
е 2, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через
е 1. В этом случае, конечно, также
е 1 +
е 2 +
е 3 = 0. Функция
pu имеет два примитивные периода
∞ | |
2 ω 1 = ∫ | dy /[√(4y3 —g2y —g3)] = 2K/[√(e1 — e3)] |
0 | |
и 2ω
3 =
2K/[√(e1 — e3 )], причем
р ω 1 =
е 1,
рω 3 =
е 3, а если положить
ω 2 =
ω 1 + ω 3, то
р ω 2 =
е 2. Величины
k2 и
k‘2 выражаются так:
k2 = (
е 2—
е 3 )/(
е 1—
е 3), (
k‘)
2 = (
е 1—
е 2 )/(
е 1—
е 3). Когда
k2 есть действительная величина, то точки 0, 2 ω
1, 2 ω
3 находятся на плоскости
u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0. Когда
k2 есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω
1, 2 ω
3, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины
k2 отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла. Функция
pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:
рu =
e3(
e1—
e3)/[Sin
2am(
u√(e1—
e2)]; отсюда не трудно выразить в
pu все три Э. функции. Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию
σ u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
рu = (
d2/
du2 ) log
(σ u). Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi‘s gesammelte Werke", Б., 1881); Dur ège, "Theorie der elliptischen Func tionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Trait é des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la th é orie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrs ätze zum Gebrauc he der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).
Д. Б.