АРИФМЕТИЧЕСКИГАРМОНИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ
Арифметически-гармоническая средняя - А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю a
1 и гармоническую среднюю h
1, т. е. найдем a
1 = 1/2(a+h) и h
1 = 2ah/(a+h); таким же образом составим а
2 = 1/2(a
1+h
1) и h
2 = 2a
1h
1/(a
1+h
1) и т. д. Числа a, a
1, a
2: и h, h
1, h
2: будут представлять - первые убывающий ряд, вторые - возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h
1 = 2ah/(a + h) = ah/a
1, след. а
1h
1 = ah; точно так же a
2h
2 = a
1h
1 = ah, что треб. док., наконец, a
nh
n = h. Но а
∞ = h
∞ = b
2, если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a
1 из а и 1 и гармоническую среднюю h
1 из а и 1; затем арифметическую среднюю a
2 из a
1 и h
1 и гармоническую среднюю h
2 из a
1 и h
1 и т. д., числа а
i и h
i будут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.
а = 2, h = 1 | а 1 = 1.5000000 | h1 = 1.3333333 |
а 2 = 1.4166666 | h2 = 1.4117647 |
а 3 = 1.4142157 | h3 = 1.4142114 |
а 4 = 1.4142136 | h4 = 1.4142136, |
итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.
Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре»
АРИФМЕТИЧЕСКИГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ →← АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ